ROTACIONAL

O rotacional de um campo vetorial é um vetor cujas componentes dão a circulação do campo por unidade de área no plano tangente ao campo.

Formalmente, o módulo do rotacional é definido como o módulo do limite da razão entre a integral do produto interno do campo com a diferencial de uma trajetória em um circuito fechado em torno do ponto e a área deste circuito, quando a área tende a zero (não tão complicado quanto parece). Sua direção é normal ao campo e o sentido é dado pela regra da mão direita.

Aplicando o teorema de Stokes, caso o espaço de definição do campo seja euclidiano, é possível provar que o rotacional é dado por:

Ou seja, ele é o produto vetorial do operador Nabla pelo campo.

Se considerarmos uma superfície retangular infinitesimal que compõe o campo, podemos representá-lo geometricamente como:

Agora podemos retirar da definição de rotacional que foi construída uma importante noção física, a qual, utilizando o teorema de Stokes e um pouco de cálculo em três dimensões, é possível provar matematicamente. Nos referimos a um método para determinar se uma determinada força é conservativa ou não.

Observe a imagem a seguir:

Primeiramente, vamos considerar que a força está definida em função da posição num espaço euclidiano. Logo, é um campo vetorial e podemos encontrar seu rotacional pela fórmula dada acima.

Se uma força tem seu rotacional diferente de zero (como na segunda parte da figura acima) e atua em um corpo que se move ao longo de um circuito, ela possuirá componentes que trabalham sempre a favor do deslocamento (ou sempre contra o mesmo). Isso porque o rotacional, como dito, mede a circulação do campo. Desta forma, o corpo pode "dar uma volta" com o trabalho da força tendo sempre o mesmo sinal, ou seja, o trabalho da força será diferente de zero em um circuito fechado. Então, será possível chegar de um ponto ao outro pelos dois lados do circuito e, portanto, encontrarmos trabalhos diferentes por caminhos diferentes.

Por outro lado, se a força tem rotacional igual a zero, ocorrerá como na primeira parte da figura acima, a força não formará circulação em torno do ponto. Com isso, se um corpo que sofre sua atuação se desloca ao longo de um circuito, receberá trabalhos de sinais contrários respectivamente na "ida" e na "volta". Isto, como pode ser provado matematicamente, garante que o trabalho da força num circuito fechado é zero e, entre dois pontos, sobre todas as trajetórias, a força realiza um mesmo trabalho.

Daí concluímos que uma força é conservativa se, e somente se, seu rotacional é nulo.